Gerak Melingkar - Dalam materi ini kita akan mempelajari mengenai posisi sudut, kecepatan sudut, dan percepatan sudut sebagai persamaan fungsi terhadap waktu. Secara berturut-turut dinyatakan θ(t), ω(t), dan α(t).
1. Posisi Sudut
Posisi sudut dari suatu titik zat yang bergerak melingkar dinyatakan: θ = θ(t), θ(t) merupakan fungsi dari waktu.
2. Kecepatan sudut
Grafik
posisi sudut terhadap waktu
Kecepatan
sudut rata-rata adalah hasil bagi perubahan posisi sudut dengan
selang waktu tertentu, perhatikan gambar diatas!
(1)
Apabila
selang waktu Δt mendekati nol, maka kecepatan benda tersebut adalah
kecepatan sesaat, dirumuskan:
(2)
Kecepatan
sudut sesaat merupakan turunan pertama dari fungsi posisi sudut
terhadap waktu. Dalam sebuah grafik fungsi posisi sudut terhadap
waktu (θ – t), kecepatan sudut sesaat ditentukan dari kemiringan
grafik tersebut, perhatikan gambar berikut!
Kemiringan
grafik menunjukkan besarnya kecepatan sudut.
Jika
β adalah sudut kemiringan garis singgung grafik – t, maka
kecepatan sudut sesaat dituliskan:
ω
= tan β
(3)
Posisi
sudut dapat dicari dari fungsi kecepatan sudut sesaat. Apabila
kecepatan sudut suatu benda diketahui, kita dapat menentukan fungsi
posisi benda dengan mengintegralkan fungsi kecepatan sudut tersebut.
dθ
= ω .dt
Jika
pada saat t = 0 posisi sudut θ0 dan pada saat t = t
posisi sudut θ , maka:
(4)
dengan:
θ0
=
posisi sudut awal (rad)
θ
= posisi sudut saat t (rad)
ω
=
kecepatan sudut (rad/s)
t
= waktu (s)
3. Percepatan Sudut
Percepatan
sudut rata-rata adalah perubahan kecepatan sudut tiap satuan waktu.
(5)
Jika
selang waktu Δt mendekati nol, maka percepatan yang dimiliki benda
adalah percepatan sesaat yang dirumuskan:
(6)
karena,
maka:
(7)
Percepatan
sudut merupakan turunan pertama fungsi kecepatan sudut atau turunan
kedua dari fungsi posisi sudut.
Dalam
sebuah grafik kecepatan sudut terhadap waktu ( ω - t ), percepatan
sudut ditentukan dari kemiringan grafik tersebut, perhatikan gambar
berikut!
Kemiringan
grafik menunjukkan besarnya percepatan sudut.
Jika
β adalah sudut kemiringan garis singgung grafik ω - t , maka
percepatan sudut sesaat dituliskan:
α
= tan β
(8)
Kecepatan
sudut dapat dicari dari fungsi percepatan sudut sesaat. Fungsi
kecepatan sudutnya ditentukan dengan mengintegralkan fungsi
percepatan sudut tersebut.
dω
=
α
. dt
Jika
pada saat t = 0 kecepatan sudutnya ω0 dan pada saat t =
t kecepatan sudutnya ω, maka:
(9)
dengan:
ω0
=
kecapatan sudut awal (rad/s)
ωt
= kecepatan sudut pada saat t (rad/s)
α
=
percepatan sudut (rad/s2)
t
= waktu (s)
Contoh
Soal
1.
Sebuah titik pada roda berotasi dengan persamaan posisi sudut θ
=
2 + 2t2 + t3, θ
dalam radian dan t dalam sekon. Tentukan:
a.
posisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 s,
b.
kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 sampai t = 3 s, dan
c.
kecepatan sudut pada saat t = 2 s!
Penyelesaian:
a.
Posisi sudut
θ
=
2 + 2t2
+ t3
t
= 2 s → θ=
2 + (2)(2)2 + 23 = 18 rad
b.
Kecepatan sudut rata-rata
t
= 0 → θ0
=
2 rad
t
= 3 →
θ3
=
2 + (2)(3) + 33
=
35 rad
c.
Kecepatan sudut sesaat
t
= 2 s →
ω
=
(4)(2) + (3)(2)2
= 20 rad/s
4. Kinematika Rotasi
a.
Gerak Rotasi Beraturan
Gerak
rotasi beraturan didefinisikan sebagai gerak rotasi dengan kecepatan
sudut konstan atau percepatan sudut nol. Berdasarkan persamaan (4)
diperoleh:
Karena
kecepatan sudut Z konstan, maka:
(10)
dengan:
θ0
= posisi sudut awal (rad)
θt
= posisi sudut pada saat t (rad)
ω
=
kecepatan sudut (rad/s)
t
= waktu (s)
b.
Gerak Rotasi Berubah Beraturan
Gerak
rotasi berubah beraturan didefinisikan sebagai gerak rotasi dengan
percepatan sudut konstan. Berdasarkan persamaan (9) diperoleh:
Karena
percepatan sudut α konstan, maka:
(11)
Posisi
sudut θ dapat ditentukan dengan memasukkan persamaan (11) ke
persamaan (4), sehingga:
(12)
dengan:
θ0
= posisi sudut awal (rad)
θt
= posisi sudut pada saat t (rad)
ω0
=
kecepatan sudut (rad/s)
α
=
percepatan sudut (rad/s2)
t
= waktu (s)
Contoh
Soal
1.
Sebuah benda dengan jari-jari 20 cm berotasi dengan percepatan sudut
tetap 2 rad/s2
. Pada saat t = 0 s, kecepatan sudut dan posisi sudutnya masing-
masing 5 rad/s dan 10 rad. Tentukan:
a.
kecepatan sudut saat t = 5 s,
b.
kecepatan linier saat t = 5 s,
c.
posisi sudut saat t = 3 s, dan
d.
panjang lintasan yang ditempuh selama 4 s!
Penyelesaian:
Diketahui:
R
= 20 cm = 0,2 m
ω0=
5 rad/s
α
=
2 ras/s2
θ0
=
10 rad
Ditanya:
a.
ωt
=
... ? (t = 5s)
b.
v = ... ? (t = 5s)
c.
θt=
... ? (t = 3s)
d
. s = ... ? (t = 4s)
Jawab:
a.ω0t
=
ω0
+
α
.
t = 5 + (2)(5) = 15 rad/s
b.
v = ω
.R = (15)(0,2) = 3 m/s
c.
θt
= θ0
+
ω0
.t
+ 1/2 α
. t2
= 10 + (5)(5) + 1/2 (2)(5)2
=
10 + 25 + 25 = 60 rad
d.
s = T .R = (60)(0,2) = 12 m
2.
Sebuah roda berputar dengan kecepatan 300 putaran per menit, kemudian
direm dan 5 sekon kemudian kecepatannya menjadi 60 putaran per menit.
Tentukan sudut roda tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui:
ω0
= 2π 300/60 = 10 π rad/s
ωt
= 2π 60/60 = 2π rad/s
t
= 5 s
Ditanya:
α
=
... ?
jawab:
ωt
=
ω0
+
α
. t
2π
= 10 π +
α
(5)
5α
=
2π
-10 π
5α
=
-8 π
α
=
- 1,6 π rad/s2